射影模

在交換代數中，一個環 R 上的射影模是自由模的推廣，它有多種等價的定義；就幾何的觀點，射影模之於自由模一如向量叢之於平凡向量叢。在範疇論的語言中，射影模可以推廣為一個阿貝爾範疇中的射影對象。

射影模首見於亨利·嘉當與薩穆埃爾·艾倫貝格的重要著作 Homological Algebra，由此定義的射影分解是同調代數的基本概念之一。

[编辑] 定義

此節給出射影模的兩種等價定義。

[编辑] 自由模的直和項

射影模最直接的刻劃是一個自由模的直和項；換言之，一個模 P 是射影模，若且唯若存在另一個模 Q 使得 是自由模。此時 P 是 F 的一個投影態射的項。

[编辑] 提昇性質

較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 P 是射影模，若且唯若對任何模滿射 及模態射 ，存在模態射 使得 （請留意：在此不要求唯一性）。用交換圖表現則更明瞭：

此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇，從而引至射影對象的概念，在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模。

另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下：模 P 是射影模，若且唯若任何正合序列

都誘導出正合序列

換言之，Hom(P, − ) 是正合函子；實則對任何模 M，函子 Hom(M, − ) 總是左正和的，而射影性相當於右正合性。由此立刻得到射影模的同調刻劃：P 是射影模若且唯若

[编辑] 向量叢與局部自由模

射影模理論的想法之一是向量叢的類比，對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環，或緊光滑流形上的光滑函數，此類比有嚴格的表述，詳閱條目Swan 定理。

向量叢是局部自由的；只要環上有合適的局部化概念，例如對環的一個積性子集局部化，則可以定義局部自由模。對於諾特環上的有限生成模，其射影性等價於局部自由性。對於非諾特環，則存有局部自由但非射影模的例子。

[编辑] 性質

• 射影模的直和與直和項仍是射影模。
• 若 ，則 Re 是個射影左 R-模。
• 射影模的子模不一定是射影模。使得所有射影左模的子模都是射影左模的環稱作左繼承的。
• 一個環上的全體有限生成射影模構成一個正合範疇（亦見代數K-理論）。
• 域或除環上的向量空間是自由模，因而是射影模。使所有模為射影模的環稱為半單環。
• 將阿貝爾群視為 -模；則射影模對應於自由阿貝爾群。一般而言，此性質對主理想域也成立。
• 射影模皆為平坦模，反之不然，例如 是平坦 -模，但是非射影。
• 關於「局部自由＝射影」的想法，Kaplansky 證出如下定理：局部環上的射影模皆為自由模。有限生成射影模的情形容易證明，一般情形則較困難。

[编辑] 塞爾問題

Quillen-Suslin定理是另一個深入的結果：它斷言若 K 是域或主理想域，而 是其上的多項式環，則任何射影 R-模都是自由模。

此問題在域的情形由塞爾首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形，Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。

[编辑] 文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X