恆等函數

在數學裡，恆等函數為一無任何作用的函數：它總是傳回和其引數相同的值。換句話說，恆等函數為函數f(x) = x。

[编辑] 定義

設M為一集合，於M上的恆等函數f被定義於一具有定義域和陪域M的函數，其對任一M內的元素x，會有f(x)=x的關係。

於M上的恆等函數f通常標記為id_M或1_M。

[编辑] 代數性質

設f : M → N為任一函數，則會有f o id_M = f = id_N o f(其中"o"為函數複合)。特別地是，id_M會是所有由M至M的函數所組成之么半群的單位元。

因為么半群的單位元是唯一的，可以以M上的單位元來替代其恆等函數的定義。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中M的自同態並不必然要是個函數。

[编辑] 例子

• 於正整數上的恆等函數為一數論中的完全積性函數。
• 在一n維向量空間內，恆等函數表示成單位矩陣I_n，不論其基為何。
• 在一度量空間，恆等函數很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，只包含其等距同構的群C₁。

[编辑] See also

• 內含映射