冪

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2个分类: 初等数学 | 二元運算

幂（國粵音皆為覓，英语：power或exponentiation）指乘方运算的结果。 $n m$ 指將 $n$ 自乘 $m$ 次。把 $n m$ 看作乘方的结果，叫做n的m次幂。

其中，n稱為底，m稱為指數（寫成上標）。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中， $n m$ 通常寫成n^m或n**m，亦可以用高德納箭號表示法，寫成n↑m，讀作“n的m次方”。

當指數為1時，通常不寫出來，因為那和底的數值一樣；指數為2、3時，可以讀作“n的平方”、“n的立方”。

n^m的意義亦可視為1×n×n×n...︰起始值1（乘法的單位元）乘底指數這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0和負數的情況︰所有數的零次方都是1；指數是負數時就等於重複除以底；即n⁰=1，n^-m=1/(n×n×n...)。

分數為指數的冪定義為 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$

0的0次方是未定義的，但有時亦採用為1其值。

冪不符合結合律和交換律。

因為十的次方很易計算，只需在後加零即可，所以科学记数法借助此簡化記錄數的方式；二的次方在計算機科學中很有用。

[编辑] 重要的恆等式

$a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$
$x^{m+n}=x^m \cdot x^n$
$x^{m-n}= \frac{x^m}{x^n}$
$x^{-m}= \frac{1}{x^m} \qquad \left(x \ne 0\right)$
$x^0=1 \qquad \left(x \ne 0\right)$
$x 1 = x$
$x^{-1}=\frac{1}{x} \qquad \left(x \ne 0\right)$
$\left( x^m \right)^n = x^{mn}$
$x^i=e^{i \ln x}=\cos(\ln x) + i \sin (\ln x), \quad i^2 = -1$

[编辑] 在函數中

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如 $f^3 \left(x \right)$ 即 $f \left\{ f \left[ f \left( x \right) \right] \right\}$ 。特別地， $f^{-1} \left(x \right)$ 指 $f \left (x \right)$ 的反函數。