歐拉線

欧拉线

在平面几何中，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和九点圆圆心（红点）的一条直线。莱昂哈德·欧拉证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

[编辑] 证明

如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，连AH，作△ABC的外接圆直径BOD，再连DB、DA，则DC⊥BC…①，DA⊥AB…②

∵H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC…③，CH⊥AB…④

由①、③可知DC∥AH，由②、④可知DA∥CH，故四边形ADCH为平行四边形，∴AH=DC。∵点O与点M分别是BD、CB的中点 ∴DC=2OM，即AH=2OM。作BC边上的中线AM,连OM、OH；设OH交AM与点G’

∵OM⊥BC，△AHG’∽△MOG’，∴AG’=2G’M，因此G’即△ABC重心G。

故△ABC的垂心H、重心G和外心O三点共线，直线HGO即欧拉线。

九点圆的圆心也在欧拉线上

如图，H、G、O分别是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三边中点I_i，三高的垂足H_i，和顶点到垂心的三条线段的中点J_i

令HΩ和J₁H₁的交点为K，∵BΩ=CΩ，BI₁=CI₁，∴ΩI₁⊥BC，又∵AH₁⊥BC，∴ΩI₁∥AH₁。

∵∠GΩI₁=∠AGH，∠GAH=∠GI₁Ω，∴△AGH∽△GΩI₁。∵AG=2GI₁，∴AH=2ΩI₁，即ΩI₁=J₁H。

∵∠ΩKI₁=∠J₁KH，∠KJ₁H=∠KI₁H，J₁H=ΩI₁，∴△ΩKI₁≌△HKJ₁。∴J₁K=KI₁。

故K为九点圆圆心。∵点K在HO上，九点圆圆心在欧拉线上